Divisibilidad

Decimos que un número entero b es divisible entre un entero a (distinto de cero) si existe un entero c tal que:b = a · c  Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división  (entera) de 6 entre 4 no es cero.Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.

Teorema fundamental de la aritmética

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Saltar a: navegación, búsqueda En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo,

 

 

No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos. Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única salvo en el orden de los factores.Por definición, un producto vacío tiene por resultado 1, con lo cual el teorema vale también para 1 si se toma como el producto de cero factores.

Descomposición de numeros naturales en sus en factores primos

Primero vemos (con la regla de divisibilidad) si el número es divisible por ese primo. luego, hacemos la división y convertimos el número (dividendo) en el producto de divisor por cociente.

Si el número es pequeño podemos intentar hacerlo "de cabeza". El proceso podría ser:
1.- Buscamos una pareja de números cualesquiera que multiplicados den el número inicial.
2.- Si esta pareja de números son primos, ya hemos acabado.
3.- En caso de que alguno de los factores no sea primo, se vuelve a descomponer en producto de otros dos...
4.- Repitiendo los pasos anteriores hasta que todos los factores sean primos.
5.- Una vez encontrados los factores primos, se ordenan de menor a mayor (es un convenio presentarlo de esta forma).
6.- Posteriormente, si hay varios factores iguales, se presenta en forma de potencia. (Nosotros, de momento, no lo vamos a presentar en forma de potencia).
Ejemplo:
Supongamos que tengo que descomponer el 36.
La primera pareja de números que se me ocurre que multiplicados dan 36 es nueve por cuatro:
36 = 9 x 4
Como ni nueve ni cuatro son primos, los vuelvo a descomponer:
36 = (3 x 3) x (2 x 2)

Maximo comun multiplo

Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que: Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

Máximo común divisor

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Saltar a: navegación, búsqueda En matemáticas, se define el máximo común divisor (abreviado MCD) de dos o más números enteros al mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el MCD de 42 y 56 es 14. En efecto, y 3 y 4 son primos entre sí (no existe ningún número natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4).

Números primos

    Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. También podemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma. Conviene observar que con cualquiera de las dos definiciones el 1 queda excluido del conjunto de los números primos.

    Ejemplos: a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7·1.
                    b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3·5. (y también como 15·1)

Números compuestos

Se llaman números compuestos los números que no son primos.Por lo tanto los números compuestos se pueden descomponer en producto de números primos.Para descomponer un número en sus factores primos, tenemos que conocer las reglas de divisibilidad. Normalmente es fácil hacer la descomposición, pero puede ser muy, muy difícil hacerlo, cuando el número es producto de dos números primos muy grandes. Este es uno de los sistemas que se emplea para cifrar información.Vamos a descomponer el número 240 en sus factores primos.

240 2 
120 2 
  60 2
 30  2
 15  3
   5  5

Números perfectos

Un número se dice que es perfecto cuando la suma de sus divisores propios es igual al número.Los primeros números perfectos son: 6, 28, 496, Observa que todos los números perfectos terminan en 6 o en 8, pero ¡ojo! no se van alternando indefinidamente.Los números perfectos tienen una bonita propiedad, descubierta por Pitágoras:

6 = 1+2+3           28 = 1+2+3+4+5+6+7         496 = 1+2+3+4+5+6+7+...+30+31

Números amigos

Se dice que dos números son amigos si la suma de los divisores de cada uno de ellos es igual al otro número.Los números 220 y 284 son amigos. Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 y 220, si los sumamos (excluyendo 220) da 284. Los divisores de 284 son: 1, 2, 4, 71, 142 y 284, si los sumamos (excluyendo 284) da 220.

Este par de números amigos era conocido por los griegos.

La criba de Eratóstenes

es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado.Partimos de una lista de números que van de 2 hasta un determinado número.

Eliminamos de la lista los múltiplos de 2.Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue eliminado (el 3) y eliminamos de la lista sus múltiplos, y así sucesivamente.El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es menor que el número final de la .

 

NOMBRE: CRISTIAN EVANS PAZ ARRIAZA

 

NOMBRE DE MATERIA: ESTRUCTURAS DISCRETAS

 

SIGLA: INF 119

 

GRUPO: SW